第六章 幂函数、指数函数和对数函数 测试卷（含解析）

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第六章 幂函数、指数函数和对数函数 测试卷
一、单选题
1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，当时，，若在上的最大值为2，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
3．若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知指数函数在上单调递增，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
6．设则（ ）
A． B． C． D．
7．若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列既是奇函数，又在上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称
C．函数的值域为 D．函数是减函数
三、填空题
13．已知函数满足，当时，函数，则 ．
14．已知函数是幂函数，且在上是增函数，则实数的值为 ．
15．函数的单调增区间是 ．
16．如果两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，则这两个函数为友好函数，那么与定义域为的函数为友好函数的个数是 .
四、解答题
17．一台价值万元的新机床，投入使用后，每年的折旧率是，年后这台机床的价值约为多少万元？（保留到小数点后第位）
18．函数是定义在上的偶函数，当时， .
(1)求函数的解析式；
(2)作出函数的图像，并写出函数的单调递增区间；
(3)求在区间上的值域.
19．化简下列各式：
（1）;
（2）
20．（1）求值：；
（2）已知，求的值.
21．设，求证：
22．已知幂函数的图象过点．
(1)求出此函数的解析式；
(2)判断函数的奇偶性，并给予证明．
参考答案
1．B
【分析】由对数的单调性以及中间值法可得,，即可比较大小.
【详解】因为,,,
故，
故选：B
2．D
【分析】先画出函数图像并判断，再根据范围和函数单调性判断时取最大值，最后计算得到答案.
【详解】如图所示：根据函数的图象
得，所以．结合函数图象，
易知当时在上取得最大值，所以
又，所以，
再结合，可得，所以.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于，根据数形结合的思想，确定，得到当时在上取得最大值，进而可求得，得出结果.
3．D
【分析】由指数函数和对数函数的图像可以判断a，b，c和0，1的大小，从而可以判断出答案.
【详解】由指数函数的单调性有：
，.
由对数函数的单调性有：
所以.
故选：D
4．D
【分析】设，分别表示出，构造函数，利用函数图象比较大小.
【详解】设，，则，，，
在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，如图，
当时，；当时，；当时，.
故选:D.
【点睛】本题考查利用函数的图象比较大小，构造函数，画出图象是关键.
5．B
【分析】令系数为，解出的值，又函数在上单调递增，可得答案．
【详解】解得，
又函数在上单调递增，则，
故选：B
6．D
【分析】根据指对数性质比较各数的大小关系.
【详解】由，则，
由，故.
故选：D
7．B
【分析】结合复合函数的单调性及二次函数的性质对进行分类讨论，再由分段函数的性质可求．
【详解】若时，
当时，单调递增，此时；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，
若函数值域为，则需，解得；
若时，
当时，单调递减，此时；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，
所以，不满足函数值域为，不符合题意，舍去，
若时，
当时，；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，
所以，不满足函数值域为，不符合题意，舍去，
综上的取值范围为，
故选：B.
8．D
【分析】根据对数函数的性质可知，根据指数函数和幂函数的性质可知，由此即可得到结果.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
9．ABC
【分析】利用给定条件结合基本不等式可判断AB；利用函数的单调性可判断CD.
【详解】对于A，，且，所以，故A正确；
对于B，，又因为，
所以，又等号不成立，故B正确；
对于C，因为，所以，所以,
可得，，所以，
因为在是单调递增函数， 所以，故C正确；
对于D，，因为在是单调递增函数，
所以，故D错误.
故选：ABC.
10．CD
【分析】根据指数函数，幂函数及对数函数的性质逐一判断即可.
【详解】由于，
对于A：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故A错误；
对于B：由于 ，所以函数 为减函数，
所以 ，故B错误；
对于C：由于，所以函数 在上为增函数，
所以 ，故C正确；
对于D：由于，所以 ，
所以 ，所以，故D正确.
故选：CD.
11．AC
【分析】对于ABC，根据函数的定义域、奇偶性及单调性等性质即可判断.
对于D，根据奇偶函数的定义和复合函数单调性即可得出D错误.
【详解】对于A，的定义域为，，则为奇函数，由幂函数的性质知： 在上单增，所以A正确.
对于B，的定义域为，，所以不是奇函数，所以B错误.
对于C，的定义域为，，则为奇函数，又因为，为增函数，为减函数，为增函数， 为增函数，所以C正确.
对于D，有解得：.
，则
是奇函数，令在区间上单调递减，而为增函数，故在上是减函数，所以D错误.
故选：AC.
12．AC
【分析】求函数的奇偶性可判断AB；分离参数可得，根据指数函数的值域可判断C；根据单调性的定义可判断D.
【详解】的定义域为，，则，
所以为奇函数，的图象关于原点对称,A正确，B错误；
，因为,所以,，
所以,故的值域为,C正确；
设,则
,
因为，所以，
所以,即，
所以函数是增函数，故D错误，
故选:AC.
13．
【分析】由得函数的周期为2，然后利用周期和对化简可得，从而可求得结果
【详解】解：由题意，函数满足，化简可得，
所以函数是以2为周期的周期函数，
又由时，函数，且，
则
．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：函数的周期性有关问题的求解策略：
（1）求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；
（2）解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解．
14．1
【分析】先由幂函数的定义可得，求出的值，再由在上是增函数，可得答案.
【详解】因为函数是幂函数，则，解得或，
又因为在上是增函数，所以，所以.
故答案为：1
15．
【分析】令，则，分别判断函数和的单调性，然后利用复合函数单调性的判断方法即可求出原函数的单调区间.
【详解】令，则．
∵，∴在上单调递减．
易知，在上单调递减，在上单调递增
∴在上单调递增，在上单调递减
故答案为：.
16．8
【分析】根据友好函数的定义结合算出的值，进而求得答案.
【详解】时，的值域为，
又，
所以对应关系为，
值域为的函数定义域还可以是，，
共计8个.
故答案为：8
17．18.87
【分析】根据题意直接列式计算即可.
【详解】因为这台价值万元的新机床，投入使用后，每年的折旧率是，
所以年后这台机床的价值约为万元.
故年后这台机床的价值约为18.87万元.
18．(1)；
(2)详见解析；
(3).
【分析】（1）利用偶函数结合条件即得解析式；
（2）根据指数函数的图像性质可得函数图像，结合图像可得单调区间
（3）利用函数的单调性可得值域.
【详解】（1）∵函数是定义在上的偶函数，
∴，
当时，，
∴，
∴；
（2）因为，可得函数图像如图，
函数的单调递增区间为；
（3）由上可知，在上单调递增，在上单调递减，
又，
故函数在区间上的值域为.
19．（1）；（1）1.
【解析】直接利用指数和对数的运算性质和法则求解.
【详解】（1），
，
;
（2）
.
20．（1）；（2）
【分析】（1）化简即可求出该式子的值；
（2）解对数方程求出，即可得出的值.
【详解】（1）由题意，
（2）由题意，
在中，
，化简得，
两边同除得，解得：或1（舍），
∴.
21．证明见解析
【解析】变换得到，，，再利用对数的运算法则得到证明.
【详解】，故，
故，，，，
，故.
【点睛】本题考查了利用对数的运算法则证明等式，意在考查学生的计算能力和逻辑推理能力.
22．(1)
(2)奇函数，证明见解析
【分析】（1）先设幂函数，带点求出幂，得到幂函数的解析式；
（2）根据函数奇偶性的定义求解.
【详解】（1）设幂函数，因为的图象过点，
所以有，因此；
（2）函数是奇函数，理由如下：
因为的定义域为，
又，所以函数是奇函数．

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