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9.4 矩形、菱形和正方形训练题
一、选择题
1.下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
2.平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（ ）
A．OD=OC B．∠DAB=90° C．∠ODA=∠OAD D．AC⊥BD
3.下列给出的条件中，不能判定一个四边形是矩形的是（ ）
A.一组对边平行且相等，一个角是直角
B.对角线互相平分且相等
C.有三个角是直角
D.一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等
4.如图，边长为的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5.如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
6.如图，长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在点处，点D落在点处，若，则( )
A. B. C. D.
第4题图 第5题图 第6题图
7.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点P从点B出发，沿折线BC-CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
8.如图,点O为矩形ABCD的对称中心,点E从点A出发沿AB向点B运动,移动到点B停止,延长EO交CD于点F,则四边形AECF形状的变化依次为( )
A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C.平行四边形→正方形→菱形→矩形
D.平行四边形→菱形→正方形→矩形
9.如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积 ( )
A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.一直变大 D.保持不变
第7题图 第8题图 第9题图
10.已知四边形ABCD和对角线AC、BD，顺次连接各边中点得四边形MNPQ，给出以下6个命题：
若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD为菱形；
若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD为矩形；
若所得四边形MNPQ为矩形，则；
若所得四边形MNPQ为菱形，则；
若所得四边形MNPQ为矩形，则；
若所得四边形MNPQ为菱形，则以上命题中，正确的是
A. B. C. D.
二、填空题
1.正方形的面积为，则其对角线的长为________．
2.如图，在菱形中，为的中点，，则菱形的周长为______.
3.如图，在矩形COED中，点D的坐标是，则CE的长是 .
4.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A '与点C重合时，点A与点B'之问的距离为 。
第2题图 第3题图 第4题图
5.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以1cm/s的相同的速度向C、A运动．若BD=10cm，AC=16cm，当运动时间t为 s时，四边形DEBF为矩形.
6.如图，点F是矩形ABCD边CD上一点，将矩形沿AF折叠，点D正好落在BC边上的点E处，若，，则EF的长为
7.如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若正方形的边长为2，则OE的长为__________．
第5题图 第6题图 第7题图
8.如图，菱形ABCD的边长为4，，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使的周长最小，则的周长的最小值为 。
9.如图，正方形ABCD的边长为a，对角线AC和BD相交于点O，正方形的边交AB于点E，OC1交BC于点F，正方形绕O点转动的过程中，与正方形ABCD重叠部分的面积为______（用含a的代数式表示）
10.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则___________．
第8题图 第9题图 第10题图
三、解答题
1.（2023·四川乐山）如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求点C到的距离．
2.（2022·四川南充）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，分别与交于点M，N．求证：(1)．(2)．
3.（2023·四川遂宁）如图，四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线l分别与、所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）
(1)求证：；
(2)当直线时，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由．
4.（2023·四川广安）将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
5.[2022·云南]如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
6.如图1，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点点E与点A，B不重合，连接CE，过点B作于点G，交AD于点F．
求证：≌；
如图2，连接EF、CF，若，求四边形BEFC的面积；
如图3，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：．
参考答案
一、选择题
1.C；2.D；3.D；4.C；5.B；6.C；7.C；8.B；9.D；10.B；
二、填空题
1.；2.24；3.；4.10 ；5.3或13；6.；7.；8.；9.；10.
三、解答题
1.【解析】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，
∴
设点C到的距离为h，
∵
∴∴答：点C到的距离为．
2.(1)证明：由菱形的性质可知，，，
∵ ，∴，即，
在和中，，∴．
(2)证明：如图，连接BD交AC于点O，
由菱形的性质可知，，∴，
由（1）知，∴，，
∴，∴，
在和中，，∴．∴，
∴，∴．
3.（1）证明：∵点O为对角线的中点，∴，
∵，∴，，
在和中，
，∴；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
连接、，如图所示：
根据解析（1）可知，，∴，
∵，∴四边形为平行四边形，
∵，即，∴四边形为菱形．
4.解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形ABCD即为所求；
②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形ABCD即为所求；
③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形ABCD即为所求；
④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形ABCD即为所求．
5.解：（1）证明：四边形是平行四边形，，.
点是的中点，.
在和中，，，.
又，四边形是平行四边形.
．四边形是矩形.
（2）由（1）得四边形是矩形，，，.
.
，.
四边形是平行四边形，.
.四边形的面积.
6.证明：，，
，
四边形ABCD是正方形，，，
，，
在和中，
，≌；
解：≌，，
四边形BEFC的面积的面积的面积
；
证明：如图3，过点D作于H，
设，
点E是AB的中点，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，，
≌，
，
，
，，
；
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