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9.3实系数一元二次方程同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若是一元二次方程的根，则该方程的两根之和为（ ）
A．2 B． C． D．1
2．在复数范围内，方程的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．若是关于x的方程的一个根（其中i为虚数单位，），则q的值为（ ）
A． B．2 C．－2 D．1
4．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A． B．若，则的最大值为
C．若，则复平面内对应的点位于第一象限 D．若是关于的方程的一个根，则
5．下列命题中，正确的个数为（ ）
①设是坐标原点，向量、对应的复数分别为、，那么向量对应的复数是；
②复数是的根，则；
③若复数是关于的方程的一个根，则；
④已知复数满足，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
A． B． C． D．
6．“，关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点.若该抛物线的对称轴上存在点Q满足是等腰三角形，则点Q的坐标不可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知方程（R）的四个根均为虚数，且以这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形面积为4，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数满足为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限
C． D．是方程的一个根
10．已知是虚数单位，则下列说法正确的有（ ）
A．是关于的方程的一个根，则
B．“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件
C．若复数，且，则
D．若复数满足，则复数的虚部为
11．下列结论正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若关于的不等式的解集为，则
D．若不等式的解集是，则
12．在复数范围内，方程的两根记为，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．设集合，，，其中，为实系数方程的根，则中所有元素之和为 ．
14．对于函数，若存在，使得，则称是的一个不动点．已知函数对于任意恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是 ．
15．已知，，为实数，若，，（为虚数单位）为方程的三个解，则 ．
四、解答题
16．已知函数．
(1)当时，求函数的最大值和最小值；
(2)若函数在上的最小值为1，求实数的值．
17．已知关于的不等式.
(1)若不等式的解集是或，求的值；
(2)若不等式的解集为，求的取值范围．
18．若二次函数满足.
(1)求的解析式;
(2)若函数在区间[1，4]上不单调，求实数t的取值范围.
19．在①复数z满足和均为实数；②为复数z的共轭复数，且；③复数是关于x方程的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题：
(1)求复数z；
(2)在复平面内，若对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
20．已知关于的实系数一元二次方程
(1)若，求方程的两个根；
(2)若方程有两虚根，，求的值；
(3)若方程的两根为，其在复平面上所对应的点分别为，点关于轴的对称点为（不同于点），如果，求的取值范围.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】根据实系数一元二次方程的根的特点，求出另一个虚根，相加即可.
【详解】设的另一个根是，易知与一定是共轭复数，故，故.
故选：A
2．D
【分析】
根据题意，由复数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】由，得，因为，所以.
故选：D
3．B
【分析】
根据题意得到是方程的另一个解，由韦达定理得到答案.
【详解】由题意得是的另一个根，
由韦达定理得.
故选：B
4．B
【分析】
设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D.
【详解】
对于A，设，则，，A错误；
对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，
可看作该单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为，
则该单位圆上的点到点的距离最大值为，B正确；
对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C错误；
对于D，依题意，，整理得，
而，因此，解得，D错误．
故选：B.
5．B
【分析】利用复数的几何意义可判断①④；求出方程的虚根，利用复数的模长公式可判断②；利用韦达定理可判断③.
【详解】对于①，因为，则向量对应的复数是，①错；
对于②，由可得，解得，故，②对；
对于③，由题意可知，关于的方程的两个虚根分别为、，
所以，，解得，故，③对；
对于④，因为，
所以，复数对应的点的轨迹是以为圆心半径为的圆，④错.
故选：B.
6．B
【分析】利用二次函数图象结合充分必要条件求解即可.
【详解】由“，关于的不等式恒成立”，
等价于，解得，
则“”的一个充分不必要条件是.
故选：B.
7．D
【分析】根据直线的解析式，当和时就可以求出点A、B的坐标，设抛物线的解析式为，根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，求出对称轴，设出Q点的坐标，是等腰三角形的情况分为3种，即A、B、Q分别为等腰三角形的顶点，利用等腰三角形的性质，根据勾股定理、两点之间的距离公式即可求出Q点的坐标．
【详解】∵，∴当时，，当时，，
∴，，
设抛物线的解析式为，由题意，得
，解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为，设，
①当时，如图，过点作，交对称轴于.
由勾股定理可得
，，
得，解得，
∴；
②当是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，，如图.
，解得或，
当Q点的坐标为时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去，
则此时Q的坐标是；
③当时，如图.
，解得，
则Q的坐标是和，
综上所述：Q的坐标可能为．
故选：D.
8．D
【分析】
利用复数的四则运算法则,复数相等的条件及其几何意义求解即可.
【详解】由已知得或，
当时，此方程的两个虚数根互为共轭复数，
设，，其中R,
将代入方程得，
整理得，则，
解得 ，即，
同理可得，当时，该方程的虚数根为，
由复数的几何意义可知，这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形为等腰梯形，
则该等腰梯形的面积为，解得，
故选：.
9．BD
【分析】利用复数的概念、运算法则、几何意义一一判定选项即可.
【详解】因为，所以，
则的虚部为，故A错误；
由于，则在复平面内对应的点位于第二象限，故B正确；
由于，故C错误；
方程可化为，方程的根为，故D正确．
故选:BD．
10．BD
【分析】将代入方程，化简后利用复数相等列式求解即可判断A；根据纯虚数的定义及充分性和必要性得定义即可判断B；根据复数的模的计算求出，即可判断C；设复数，根据复数的加法运算及复数相等的条件即可求出复数，即可判断D.
【详解】对于A，因为是关于的方程的一个根，所以，
即，所以，解得，故A错误；
对于B，当时，若，复数是实数，不是虚数，更不是纯虚数，故充分性不成立；
当是纯虚数，则且，故必要性成立，故正确；
对于C，若复数，则，解得，故C错误；
对于D，设复数，则，
所以，故，所以复数的虚部为，故D正确.
故选：BD.
11．ACD
【分析】由充分条件和必要条件的定义可判断A，B；由二次函数的性质可判断C；由一元二次不等式的解集即为方程的根可判断D.
【详解】对于A，由可得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，“”能推出“”，但推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；
对于C，关于的不等式的解集为，
当时，，解得不成立，
当时，，解得，所以C正确；
对于D，故不等式的解集是，
则是方程的根，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．BC
【分析】
利用韦达定理及复数的概念计算可得.
【详解】
因为方程的两根记为，，
所以，，故A错误，B正确.
，所以，故C正确；
，故D错误.
故选：BC.
13．
【分析】由复数根的性质及根与系数关系得到的所有可能值，并求出，从而得到中所有元素之和.
【详解】由题设，，对应，
由与为方程两根，由根与系数的关系知，或或或，
所以，故 中所有元素之和为.
故答案为：
14．
【分析】由题意可得恒有两个不等的实根，对恒成立，求解即可.
【详解】因为恒有两个相异的不动点，
所以恒有两个不等的实根，
对恒成立，
所以，解得．
故答案为：.
15．3
【分析】
根据方程的根得到，化简计算出，，，得到答案.
【详解】
依题意得，
，
所以，，．所以．
故答案为：3
16．(1)最大值为12，最小值为-4
(2)
【分析】（1）配方后利用二次函数的性质求解即可.
（2）根据对称轴的位置，分类讨论，,求其最小值并为1，得到的值.
【详解】（1）当时，，
又，所以，，
所以函数的最大值为12，最小值为-4.
（2）的对称轴为，开口向上，
① 当，即时，
，即，符合题意；
② 当，即时，
，即，不符合题意；
③ 当，即时，
，无解，不符合题意；
综上，可得.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得和是方程的两个实数根，由根与系数的关系求解即可；
（2）利用二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为不等式的解集是或，
所以，和是方程的两个实数根，且，
由韦达定理得，所以；
（2）由于不等式的解集为，
则不等式对任意的恒成立，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是
18．(1)
(2)
【分析】（1）设出函数的解析式，利用已知条件，列出方程组求解，得到函数的解析式；
（2）通过与的范围，结合二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】（1）设，则，
所以，
所以化简可得：，
则有：，解可得：，
所以.
（2）函数，
当时，函数，
此时函数的对称轴为，
当时，函数，此时函数的对称轴为，
因为在区间[1，4]上不单调，只需.
故实数t的取值范围为：.
19．(1)
(2)
【分析】（1）若选①：设，根据复数的相关概念与运算求解；若选②：设，根据复数的乘法运算结合复数相等运算求解；若选③：直接求解方程即可得结果；
（2）由（1）可得，根据复数的几何意义列式求解.
【详解】（1）若选①：设，
则，，
若和均为实数，则，解得，
所以；
若选②：设，则，
因为，则，
整理得，
则，解得，
所以；
若选③：因为，则，解得，
且，所以.
（2）由（1）可得，
则，
若对应的点在第四象限，则，解得或，
所以实数m的取值范围为.
20．(1)、
(2)
(3)
【分析】（1）利用求根公式计算可得；
（2）由求出的取值范围，依题意可得、互为共轭复数，则，即可求出的值；
（3）分和两种情况讨论，结合求根公式及数量积的坐标表示，即可得到不等式，解得即可.
【详解】（1）当时方程为，则，
所以方程的根为、
（2）因为方程有两虚根，所以，
解得，
此时方程有两个共轭复根、，故，又，所以，
所以，解得或（舍去）.
（3）若，即或时，
此时，，
则，，，
显然，
所以，
则
，
即，解得或，
所以或；
若，即时，
设，（），
则，，，
所以，，
所以，即，又，，
所以，解得或，所以；
综上可得的取值范围为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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