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绝密★启用前
2024年普通高等学校招生全国统一考试
全国甲卷理科数学
使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 10 D. 
2. 集合
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
3. 若实数
满足约束条件
，则
的最小值为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 1 D. 2
5. 已知双曲线的两个焦点分别为
，点
在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A
4 B. 3 C. 2 D. 
6. 设函数
，则曲线
在
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 函数
在区间
的大致图像为（ ）
A
B. 
C. 
D. 
8
已知
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
9. 已知向量
，则（ ）
A. “
”是“
”的必要条件 B. “
”是“
”的必要条件
C. “
”是“
”的充分条件 D. “
”是“
”的充分条件
10. 设
是两个平面，
是两条直线，且
.下列四个命题：
①若
，则
或
②若
，则
③若
，且
，则
④若
与
和
所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A
①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④
11. 在
中内角
所对边分别为
，若
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
12. 已知b是
的等差中项，直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 
的展开式中，各项系数的最大值是______．
14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为
和
，母线长分别为
和
，则两个圆台的体积之比
______．
15
已知
，
，则
______．
16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记
为前两次取出的球上数字的平均值，
为取出的三个球上数字的平均值，则
与
差的绝对值不超过
的概率是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
|
|
优级品 |
合格品 |
不合格品 |
总计 |
|
甲车间 |
26 |
24 |
0 |
50 |
|
乙车间 |
70 |
28 |
2 |
100 |
|
总计 |
96 |
52 |
2 |
150 |
（1）填写如下列联表：
|
|
优级品 |
非优级品 |
|
甲车间 |
|
|
|
乙车间 |
|
|
能否有
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有
的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率
，设
为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（
）
附：
|
|
0.050 |
0.010 |
0.001 |
|
k |
3.841 |
6.635 |
10.828 |
18. 记
为数列
的前
项和，且
．
（1）求
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前
项和为
．
19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值．
20. 设椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
（1）求
的方程；
（2）过点
的直线与
交于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
轴．
21. 已知函数
．
（1）当
时，求
的极值；
（2）当
时，
恒成立，求
的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）写出
的直角坐标方程；
（2）设直线l：
（
为参数），若
与l相交于
两点，若
，求
的值.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 实数
满足
．
（1）证明：
；
（2）证明：
．
绝密★启用前
2024年普通高等学校招生全国统一考试
全国甲卷理科数学
使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】A
【11题答案】
【答案】C
【12题答案】
【答案】C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【13题答案】
【答案】5
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】64
【16题答案】
【答案】
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
【17题答案】
【答案】（1）答案见详解
（2）答案见详解
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）证明见详解；
（2）
【20题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
【21题答案】
【答案】（1）极小值为
，无极大值.
（2）
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
【22题答案】
【答案】（1）
（2）
[选修4-5：不等式选讲]
【23题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
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