已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若时，关于的方程有...

解：（1）由已知得x＞0且．

当k是奇数时，，则f(x)在(0,+)上是增函数;

当k是偶数时，则．

所以当x时，，当x时，．

故当k是偶数时，f (x)在上是减函数，在上是增函数．    4分

（2）若，则．

记 ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；    令,得．因为，所以（舍去），．  当时，，在是单调递减函数；

当时，，在上是单调递增函数．

当x=x₂时, ，．    因为有唯一解，所以．

则 即   设函数，

因为在x>0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解．

因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x ₂ = 1，从而解得    10分

另解:即有唯一解,所以:,令,则,设，显然是增函数且，所以当时，当时，于是时有唯一的最小值，所以，综上：．

（3）当时， 问题等价证明

由导数可求的最小值是，当且仅当时取到，

设，则，

易得，当且仅当 时取到，

从而对一切，都有成立．故命题成立．    16分