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银川二中2023-2024学年第一学期高三年级统练二
文科数学试题
注意事项：
1.本试卷共22小题，满分150分，考试时间为120分钟.
2.答案写在答题卡上的指定位置，考试结束后，交回答题卡.
一 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）.
1. 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知命题，则命题的否定为（ ）
A.
B
C.
D.
3. 设,则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知命题：，；命题：若，则，下列命题为假命题的是（ ）
A. B.
C D.
5. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. ，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知x，y满足约束条件，则最大值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
8. 关于函数，下列说法错误的是（ ）
A. 定义域为 B. 图象关于轴对称
C. 图象关于原点对称 D. 在内单调递增
9. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. 或 C. D.
10. 函数的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 函数在在区间上单调递增，则k得取值范围（ ）
A. B.
C. D. （-，1]
12. 函数满足对任意都有成立，函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A. -4 B. 0 C. 4 D. 8
二 填空题（本大题4小题，共20.0分）
13. 已知在点处的切线为直线，则__________.
14. 计算______．
15. 某节晚自习，因一人恶作剧导致班级秩序混乱.班主任调查时，甲说：“是乙的问题”；乙说：“是丙的问题”；丙说：“甲说的没错”；丁说：“反正不是我的问题”.若四个人中只有一个人说的是真话，则搞恶作剧的同学是__________.
16. 若函数同时满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；（2）对于定义域上的任意，当，恒有，则称函数为“理想函数”，下列①，②，③，④四个函数中，能被称为“理想函数”的有__________.（填出函数序号）
三 解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（一）必考题（共60分）
17. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18. 已知函数，当时，，当时，.
（1）求的解析式；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
19. 已知是定义在上的奇函数，且时，.
（1）求函数的解析式；
（2）画出函数的图象并写出函数的单调区间.
20. 为了保护环境，某工厂在政府部门支持下，进行技术改进： 把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为： ， 且每处理一吨二氧化碳可得价值为万元的某种化工产品.
（1）当 时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少.
21. 已知函数．
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围．
（二）选考题（共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线交曲线于两点.
（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，若点到两点的距离之积是16，求的值.
23. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范围．
银川二中2023-2024学年第一学期高三年级统练二
文科数学试题
注意事项：
1.本试卷共22小题，满分150分，考试时间为120分钟.
2.答案写在答题卡上的指定位置，考试结束后，交回答题卡.
一 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）.
1. 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.
【详解】由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.
2. 已知命题，则命题的否定为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可
【详解】的否定为.
故选：D.
3. 设,则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】判断和之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】由题意，成立，比如取，推不出成立，
当成立时，一定成立，
故是的必要不充分条件，
故选：B
4. 已知命题：，；命题：若，则，下列命题为假命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式可判断命题的真假，根据不等式性质可判断的真假，即可由复合命题的性质判断命题真假．
【详解】命题：，，
因为，所以命题为真命题
命题：若，则，当时不等式不成立，所以命题为假命题
由复合命题真假判断可知A：真命题;B：为真命题;
C：为假命题;D：为真命题.
故选：C
【点睛】本题考查了命题真假的判断，复合命题真假的判断，属于基础题．
5. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】举反例说明ABC错误，利用作差法证明D正确.
【详解】当时满足，
所以，所以A错误，
所以，故B错误，
所以，故C错误，
因为，又，
所以，
所以，
故选：D.
6. ，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性进行判断即可.
【详解】因为，，，
所以，因此，
故选：C
7. 已知x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】画出约束条件表示的可行域，确定目标函数经过的特殊点，即可求出目标函数的最大值.
【详解】约束条件，表示的可行域如图：
由可得，
目标函数经过可行域内的点时，目标函数取得最大值9．
故选：C．
8. 关于函数，下列说法错误的是（ ）
A. 定义域为 B. 图象关于轴对称
C. 图象关于原点对称 D. 在内单调递增
【答案】B
【解析】
【分析】由即可求出其的定义域；利用可判断为奇函数；求利用复合函数的单调性即可判断在内的单调性.
【详解】因为,
所以，
所以定义域为，故A正确；
因为，
所以图象关于原点对称，故B错误，C正确;
又在上单调递减，
所以在上单调递增，
又在上单调递增，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：B.
9. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. 或 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知得出函数在定义域上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案.
【详解】函数中，
在上单调递减，在上单调递减，且，
则函数在定义域上单调递减，
，
，解得：，
即不等式的解集为.
故选：D
10. 函数的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：解:令,解得,该函数有三个零点,故排除B；当时,,,,当时,,排除C、D．故选A．
考点：函数的图象．
11. 函数在在区间上单调递增，则k得取值范围是（ ）
A. B.
C. D. （-，1]
【答案】B
【解析】
【分析】将问题转化为即在上恒成立，利用导数求出函数在上的最大值即可求得k的范围.
【详解】因为，
由题意知在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
故.
故选：B.
12. 函数满足对任意都有成立，函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A. -4 B. 0 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性及周期性，逐步转化计算，即可得到本题答案.
【详解】因为函数的图象关于点对称，
所以函数的图象关于对称，即为上奇函数，
所以，且，
又因为，所以，
所以，则的周期为4，
因为，令得，
所以，
.
故选：A
二 填空题（本大题4小题，共20.0分）
13. 已知在点处的切线为直线，则__________.
【答案】##-0.5
【解析】
【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以，
因为在点处的切线为直线，
所以，解得.
故答案为：
14. 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用指数对数的运算性质计算即可.
【详解】
.
故答案为：.
15. 某节晚自习，因一人恶作剧导致班级秩序混乱.班主任调查时，甲说：“是乙的问题”；乙说：“是丙的问题”；丙说：“甲说的没错”；丁说：“反正不是我的问题”.若四个人中只有一个人说的是真话，则搞恶作剧的同学是__________.
【答案】甲
【解析】
【分析】由题意得到甲和丙说的都是假话，得到搞恶作剧的同学不是乙，再假设乙说的是真话，得到矛盾，得到乙说的也是假话，搞恶作剧的不是丙，进而得到甲乙丙说的都是假话，丁说了真话，即可求解.
【详解】由题意，甲和丙说的话一定是同真同假，而四个人中只有一个人说的是真话，
所以甲和丙说的都是假话，可得搞恶作剧的同学不是乙；
假设乙说的是真话，那么丁说的也是真话，与只有一个人说的是真话矛盾，
所以乙说的也是假话，搞恶作剧的不是丙，
甲乙说的都是假话，那么只能是丁说了真话，所以搞恶作剧的也不是丁，
综上可得，搞恶作剧的同学是甲.
故答案为：甲.
16. 若函数同时满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；（2）对于定义域上的任意，当，恒有，则称函数为“理想函数”，下列①，②，③，④四个函数中，能被称为“理想函数”的有__________.（填出函数序号）
【答案】③④
【解析】
【分析】根据函数的单调性和奇偶性，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】若是“理想函数”，则满足：①对于定义域上的任意，恒有，即，则函数是奇函数；②对于定义域上的任意，当时，恒有，即，所以时，，或时，，即函数是单调递减函数，故为定义域上的单调递减的奇函数.
①是定义域为的奇函数，但在定义域上不单调，所以不是单调递减函数，即不是“理想函数”；
②，定义域为，当时，单调递增，所以不是“理想函数”；
③在定义域上为减函数，且，所以是“理想函数”；
④，图象如下，在定义域上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”.
故答案为：③④
三 解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（一）必考题（共60分）
17. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求得或，结合集合交集的运算，即可求解；
（2）根据题意得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：当时，集合，可得或，
因为，所以.
【小问2详解】
解：若“”是“”的充分不必要条件，即，
当时，即时，此时，满足，
当时，则满足且不能同时取等号，解得，
即实数的取值范围为.
18. 已知函数，当时，，当时，.
（1）求的解析式；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数、一元二次不等式与一元二次方程的关系，将函数的两个零点代入方程中，即可求得的值，进而得的解析式；
（2）将的值代入不等式，由一元二次不等式恒成立，结合二次函数的性质，即可求得的取值范围.
【详解】（1）根据函数与不等式关系，函数，当时，
可知方程的两个根分别为，且.
代入方程可得
解方程组可得
代入解析式可得
（2）将代入不等式可得
由二次函数性质知满足
解得
所以的取值范围为
【点睛】本题考查了二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，一元二次不等式恒成立问题的解法，属于基础题.
19. 已知是定义在上的奇函数，且时，.
（1）求函数的解析式；
（2）画出函数的图象并写出函数的单调区间.
【答案】（1）
（2）图象见解析；
【解析】
【分析】（1）利用单调性求出时的解析式，即可求出函数的解析式；
（2）做出函数图像，利用图象即可得出函数的单调区间.
【小问1详解】
由题意，
在中，是定义在 上的奇函数，
当 时, ,
∴，当 时,
∴
【小问2详解】
由题意及（1）得，
在中，
作出函数的图象如下图所示，
∴ 的单调增区间为.
20. 为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进： 把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为： ， 且每处理一吨二氧化碳可得价值为万元的某种化工产品.
（1）当 时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少.
【答案】（1）元；（2）吨.
【解析】
【分析】（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；
（2）确定处理每吨二氧化碳的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．
【详解】（1）当时，设该工厂获利为，则，
所以当时，，因此，该工厂不会获利.
所以国家至少需要补贴元，才能使工厂不亏损；
（2）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：.
①当时，所以 ，
因为，所以当时， ，为减函数，当时， ，为增函数，
所以当时， 取得最小值；
②当时，.
当且仅当时，即时， 取最小值.
因为，所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少.
【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，考查导数与基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.
21. 已知函数．
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）当时，求出导函数，求出函数得单调区间，即可求出在区间上的最值；
（2）由，分离参数得，根据函数得单调性作图，结合图像即可得出答案.
【详解】解：（1）当时，，，
∴在单调递减，在单调递增，
，，
∴，.
（2），则，
∴在单调递增，在单调递减，
，当时，，当时，，
作出函数和得图像，
∴由图象可得，.
（二）选考题（共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线交曲线于两点.
（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，若点到两点的距离之积是16，求的值.
【答案】（1）直线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据公式，代入化简即可；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，化简得，根据参数的几何意义及韦达定理计算即可.
【详解】解：（1）直线的直角坐标方程为，
所以直线的极坐标方程为.
由，得.
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）将直线的参数坐标方程代入中，
得
设对应的参数分别为，则.
，或
，
【点睛】将参数方程化为普通方程的方法：
将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法；
常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.
23. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）.（2）.
【解析】
【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.
【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法
当时，，表示数轴上点到和的距离之和，
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，
当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，
所以的解集为.
[方法二]【最优解】：零点分段求解法
当时，．
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，解得．
综上，的解集为．
（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值
依题意，即恒成立，
，
当且仅当时取等号，
,
故，
所以或，
解得.
所以的取值范围是.
[方法二]【最优解】：绝对值几何意义法求最小值
由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.
[方法三]：分类讨论+分段函数法
当时，
则，此时，无解．
当时，
则，此时，由得，．
综上，a的取值范围为．
[方法四]：函数图象法解不等式
由方法一求得后，构造两个函数和，
即和，
如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，
由图易知，则．
【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．
方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，
方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；
（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得，利用不等式恒成立的意义得到关于的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；
方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得的最小值，最有简洁快速，为最优解法
方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求最小值，要注意函数中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；
方法四与方法一的不同在于得到函数的最小值后，构造关于的函数，利用数形结合思想求解关于的不等式.
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