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邢台市五岳联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章3.2．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．椭圆的短轴长是（ ）
A．7 B．14 C．9 D．18
2．若方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．过直线上一点作圆的切线，为切点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的右焦点为，过作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为（第一象限），并与双曲线交于点，若，则的斜率为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．108 D．117
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知是双曲线的上焦点，点在上，则（ ）
A． B． C．的最小值为2 D．的最小值为4
10．在同一直角坐标系中，直线与曲线的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
11．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的离心率为
C． D．若内切圆的半径为2，则椭圆的焦距为10
12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层是正四棱柱，下层底面是边长为4的正方形，在底面的投影分别为的中点，若，则下列结论正确的有（ ）
图一 图二
A．该几何体的表面积为
B．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．点到平面的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知点是点在坐标平面内的射影，则______．
14．已知菱形的四个顶点是椭圆的四个顶点，则菱形的面积为______．
15．已知圆的圆心在轴的正半轴上，圆与圆外切，写出一个圆的标准方程：______．
16．3D打印是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D打印的双曲线塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）上底直径为，下底直径为，高为，则喉部（最细处）的直径为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线与．
（1）当时，求直线与的交点坐标；
（2）若，求的值．
18．（12分）
已知点，圆．
（1）判断点与圆的位置关系，并说明理由．
（2）若，过点的直线与圆交于两点，且，求的斜率．
19．（12分）
已知是圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）若是上两点，且线段的中点坐标为，求的值．
20．（12分）
如图，这是某圆弧形山体隧道，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以为坐标原点，所在的直线为轴建立直角坐标系．
（1）求该圆弧所在圆的方程；
（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）
21．（12分）
如图，在斜三棱柱中，是边长为2的等边三角形，分别为，的中点，且．
（1）证明：．
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
22．（12分）
如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点．
（1）求的方程．
（2）过直线上任意一点作直线与的左、右两支相交于两点．直线关于直线对称的直线为（与不重合），与的左、右两支相交于两点．证明：．
邢台市五岳联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1．B因为，所以，则，故椭圆的短轴长是14．
2．B因为方程表示一个圆，所以，解得．
3．A因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为．
4．C由题意得，得．
5．A，则在上的投影向量的模为，则点到直线的距离为．
6．C因为圆的圆心到直线的距离，所以的最小值为，所以的取值范围是．
7．B因为，所以为线段的中点，则．设双曲线的左焦点为，则．在中，
，整理得，即，则，故的斜率为1．
8．A，所以表示直线上一点到两点距离之和的最小值．易知两点在的同一侧，设点关于对称的点，则解得即，故．
9．AC由，得，则的最小值为．
10．ABD若，则曲线表示坐标原点为圆心，1为半径的圆，并且与相交于，两点，A符合．若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，并且与相交，B符合，C不符合．若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，没有符合的选项．当
时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线经过第一、二、四象限，且经过曲线的右顶点，D符合．
11．ACD由，解得，则，整理得，
即，则（舍去）或，故椭圆的离心率为A正确，B不正确．由，得，则，故，C正确．由内切圆的半径为2，得．因为，所以，即椭圆的焦距为10，D正确．
12．ACD
因为在平面的投影为的中点，且，所以点到平面的距离为，点到平面的距离为2，则点到的距离为，则的面积为的面积为．根据对称性可知，该几何体的表面积为，A正确．将该几何体放置在一个球体内，要使该球体的体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上，且均在球面上，设球心到下底面的距离为，则，解得，则该球体的半径为，体积为，B不正确．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，平面的一个法向量为，则，故直线与平面所成角的正弦值为，C正确．设平面的法向量为，，则令，得，则点到平面的距离为，D正确．
13．5由题可知，则．
14．菱形的面积为．
15．（答案不唯一，只要方程满足即可）因为圆的圆心在轴的正半轴上，且圆与圆外切，所以圆的方程为．
16．
双曲塔筒的轴截面如图所示，以为喉部对应点，设与分别为上、下底面对应点．由题意可知．设，则．
设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，方程可化简为，
将和的坐标代入式可得解得
所以．故该塔筒的喉部直径为．
17．解：（1）因为，所以．
联立方程组解得
故直线与的交点坐标为．
（2）因为，所以，解得或．
当时，与重合，不符合题意．
当时，与不重合，符合题意．故．
18．解：（1）点在圆外．
理由如下：由题意得圆的半径为2，圆心为．
因为，所以点在圆外．
（2）由题意得，设直线，即．
因为，所以圆心到的距离为，
则，得或．
19．解：（1）设，则．
因为在圆上，所以，故的方程为．
（2）设，则
两式相减得，即．
因为线段的中点坐标为，所以，所以直线的方程为．
联立方程组，整理得，则
20．解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在轴上．
设该圆的半径为米，则，解得，
故该圆弧所在圆的方程为．
（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为米，则，
解得．
若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道能并排通过4辆该种汽车．
综上，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．
21．（1）证明：因为是等边三角形，为的中点，所以．
又，所以．
因为，所以平面．
又平面，所以．
（2）解：取靠近点的四等分点，连接，易证得，则，且．
由，得．因为，所以，即，从而平面．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，则
令，得．
由图可知，是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，则．
22．（1）解：由题可知解得，
则的方程为．
（2）证明：设，显然直线的斜率存在且不等于0，设的方程为，则直线的方程为．设．
联立方程组
整理得．
，则．
同理可得， ，
则，
同理可得，则，
则，则，即．
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