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巫溪县2023-2024学年高二上学期10月月考
数学试题
一、单选题(每题只有一个正确答案，每小题5分共计40分)
1．过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．直线，若，则实数的值为（ ）
A．0 B．3 C．0或 D．0或3
3．已知棱长为1的正方体中，，分别为，的中点；则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知角是第一象限角，，则（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（ ）
B． C． D．
6．设，向量，，，且，，则
A． B．3 C． D．4
7．已知点，，直线过点，且与线段交，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．
8．如图，在直三棱柱中，，，D为上一点．若二面角的大小为，则AD的长为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题(每题有多个答案，每小题5分共计20分)
9．下列结论中正确的有（ ）
A．“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件
B．直线关于直线对称的直线方程是
C．O为平面ABC外的任一点，且则点M，A，B，C共面
D．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
10．以下命题正确的是（ ）
A．直线l方向向量为，直线m方向向量，则l与m垂直；
B．直线l的方向向量，平面的法向量，则；
C．平面的法向量分别为，则；
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则．
11．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ）
A．与EF相交 B．平面DEF
C．EF与所成的角为 D．点到平面DEF的距离为
12．已知为坐标原点，，为轴上动点，为直线：上一动点，则（ ）
A．周长的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为4
三、填空题（直接写出答案，每小题5分共计20分)
13．已知两直线方程分别为，若，则
14．已知点为直线与直线的交点，则点到直线的最大距离为
15．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则 .
16．在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的体积为__________．
四、解答题(解答时要写出详细的推理演算过程，共计70分)
17（10分）．已知空间向量 ，, ．
(1)若，求；
(2)若 ，求 的值试卷第1页，共3页
18（12分）．已知平面内两点.
（1）求过点且与直线平行的直线的方程；
（2）求线段的垂直平分线方程.
19（12分）．如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，，，，为线段上两点，且.
（1）求证：面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
20（12分）．已知的三个顶点的坐标为，，．
(1)求边AB上过点C的高所在直线的方程；
(2)若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长．
21（12分）．已知函数，在中，满足条件．
(1)求；
(2)若，求的面积的最大值．
22（12分）．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.
(1)求证：；
(2)在线段上，是否存在一点M，使得平面与平面所成角的大小为，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B 2．C 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A
8．A【详解】如下图所示，以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，平面的一个法向量为．设平面的法向量为，由，得，
令，得平面的一个法向量为，由题意知，解得，故选A.
9．AB
10．AD【详解】，直线l与m垂直，A正确；
，或，B错误；不共线，所以与不平行，故C错误；，向量是平面的法向量，
，即，则，D正确．故选：AD．
11．BCD【详解】对选项A，由图知平面，平面，且由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误；对于选项B，在直三棱柱中， ．，F分别是AC，AB的中点，， ．
又平面DEF，平面DEF， 平面故B正确；
对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则0，，0，，2，，0，，20，0，，0，，1，．1，，
0，．
，，．与所成的角为，故C正确；对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量．0，，1，，由，即，得取，则，0，，
设点到平面DEF的距离为d．又2，，，
点到平面DEF的距离为，故D正确．故选：BCD
12．BCD
【详解】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，可知，对于选项A： 可得周长，
当且仅当四点共线时，等号成立，所以周长的最小值为，故A错误；
对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为，则，可得，
所以的最小值为，故B正确；
对于选项C：因为，
设到直线：的距离为，可得，
所以的最小值为，故C正确；
对于选项D：作，垂足为，
因为直线的斜率，则，可得，则，可得，
所以的最小值为4，故D正确；
故选：BCD.
13．2
14．由解得，所以，直线即，由解得，所以直线过定点，
所以点到直线的最大距离为.
15．【详解】因为函数的最小正周期为，
所以，又因为直线是函数的一条对称轴，所以，解得：，因为，所以，则函数，所以，故答案为：.
【解析】设，则由题设可得，解之得，所以以，，为棱的正方体与该三棱锥具有共同的外接球，外接球的直径，即，故外接球的体积，
17．【详解】（1），,解得：，............3分
故，故 ．...................................5分
（2）由，可得 ，解得：，..........7分
，
，，..................................9分
．...................................10分
18．试题解析：（1）∵点
∴..........................................4分
∴由点斜式得直线的方程......................6分
（2）∵点
∴线段的中点坐标为
∵.....................................................................................9分
∴线段的垂直平分线的斜率为
∴由点斜式得线段的垂直平分线的方程为................12分
19．【详解】解：（1）连 交于，连
...................................5分
(2)
则面，
以为坐标原点,为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图
则 ......................7分
设面法向量,取
,设与平面所成角为，
则
所以与平面所成角的正弦值是.............................................12分
20．【详解】（1），边AB上的高所在直线的斜率为， 又直线过点，
所求直线的方程为：，即...................................5分
（2）设直线l的方程为：，即，，，解得：，直线l的方程为：，
直线l过点，三角形斜边长为，
直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为．.................................12分
21．【详解】（1）由，
所以，
解得，又，所以．.......................................6分
（2）由余弦定理得，
因为，所以，当且仅当时等号成立．
所以，即面积的最大值....................12分
22．【详解】（1）如图，取BC中点为E，连接AE，因，则四边形AECD为平行四边形.则，.又，，则.
又注意到，，则.
因平面，平面ABCD，则.
因平面PAC，，则平面.
又平面，则；................................6分
（2）由（1）如图建立以A为原点的空间直角坐标系.
则.
则，.
设，则，.
设平面AMC法向量为，则.
取，又由题易知平面法向量可取.
因平面与平面所成角的大小为，
则
.
故时满足题意..............................................................................12分
答案第1页，共2页
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