2024-2025学年湖南省益阳市资阳区多校联考九年级（上）开学数学试卷（含答案）

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2024-2025学年湖南省益阳市资阳区多校联考九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 四边相等的四边形是菱形
C. 一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 矩形的对角线互相垂直
2.关于一次函数的图象和性质，下列说法正确的是( )
A. 随的增大而增大 B. 图象经过第三象限
C. 图象经过点 D. 图象与轴的交点是
3.下列说法正确的是( )
A. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 B. 频数与频率相等
C. 一次函数都是正比例函数 D. 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形
4.在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
5.如图，已知，是平分线上一点，，交于点，，垂足为点，且，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离米与时间分钟之间关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
8.如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接下列结论：四边形是菱形；点与点重合时，；的面积的取值范围是其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.中，，，，则 ______．
10.一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于 ．
11.在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______．
12.如图，在中，，点是的中点，，，则 ．
13.将一次函数的图象向上平移个单位，得到的一次函数的表达式是______．
14.如图，在中，，，，平分，则点到的距离为______．
15.如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为______．
16.如图，在平面直角坐标系中，点、、都在轴上，点，，，都在直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
18.本小题分
阅读下列一段文字，然后回答下列问题已知在平面内两点，，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或
已知，，试求、两点间的距离；
若一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由．
19.本小题分
如图，已知，，，是四边形各边的中点．
证明：四边形为平行四边形；
若四边形是矩形，且其面积是，求四边形的面积．
20.本小题分
每年月日是全国中小学生安全教育日，学校为加强学生的安全意识，组织了全校名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩得分取正整数，满分为分进行统计请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
这次抽取了______名学生的竞赛成绩进行统计，其中： ______， ______；
请补全条形统计图；
若成绩在分以下含分的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
分数段 频数 频率
21.本小题分
某省疾控中心将一批万剂疫苗运往，两城市，根据预算，运往城的费用为元万剂，运往城的费用为元万剂结合城的疫苗预约情况，城的需求量不低于万剂，设运输这批万剂疫苗的总费用为元，运往城万剂．
求与的函数关系式；
在满足城市最低需求量的情况下，求运输费用最少的方案，最少费用是多少？
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，且与直线：相交于点，其中点纵坐标为．
求点的坐标及的值；
求的面积；
直接写出不等式的解集．
23.本小题分
如图，已知中，，点为边上一动点，四边形是正方形，连接，正方形对角线交于点．
判断与的数量关系，并证明；
求证：；
若，求的值．
24.本小题分
如图，已知直线与坐标轴交于，两点，点是轴正半轴上一点，并且，点是线段上一动点不与端点重合，过点作轴，交于．
求所在直线的解析式；
若轴于，且点的坐标为，请用含的代数式表示与的长；
在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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17.解：连接，
，，，
，，
又，，，
，
，
．
18.解：、两点间的距离为；
为等腰直角三角形，理由如下：
，
，
，
，且，
为等腰直角三角形．
19.证明：连接，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
同理，，
，，
四边形为平行四边形
解：如图，由知四边形为平行四边形，
四边形是矩形，且，，，是四边形各边的中点，
，
四边形和四边形都是矩形，
，，，
四边形是菱形，
，
四边形的面积是，
，
．
20.；；．
补全条形统计图如图所示．
人．
该校安全意识不强的学生约有人．
21.解：设运往城万剂，运往城万剂，依据题意可得．
故运输这批万剂疫苗的费用与的函数关系式为；
根据城的疫苗预约情况，城的需求量不低于万剂，可得，
因为，所以随着的增大而增大，
所以，当时，取最小值，元，
答：在满足城市需求量的情况下，费用最低的调运方案是运往城万剂，运往城万剂；最低费用是元．
22.解：把代入得，，
解得，
点的坐标为，
把点的坐标代入得，，
解得；
直线：与轴交于点，
，
，
；
由图象可知，不等式的解集是．
23.解：，理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：如图，连接，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
由知：≌，
，
，
在中，，
；
解：如图，连接，
，
在中，
，
，
，
由知：，
由知：，
在中，，
四边形是正方形，
，
24.解：
在中，令可得，令可求得，
，，
，，
，
，即，解得，
，
设直线解析式为，
，解得，
直线解析式为；
轴，且，
点横坐标为，
在中，令，可得，
，
轴，
点纵坐标为，
在中，令，可得，解得，
在线段上，
；
假设存在满足条件的点，设其坐标为，
为等腰直角三角形，
有、和三种情况，
当时，则有，
由可得，，
，解得，
；
当时，则有，
在中，令可得，
，
在中，令，可得，解得，
，
，解得，
；
当时，如图，过作于点，则，
由可知，，
，解得，
，，
，
；
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或．
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