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长春外国语学校2023-2024学年第一学期期中考试高二年级
数学试卷
出题人 ：高国峰 审题人：杨哲
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书
写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知圆的方程是，其圆心和半径分别是 （ ）
A．，2 B．，4 C．，2 D．，4
2．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是 （ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在三棱锥O ABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且，若记，，，则等于 （ ）
A． B． C． D．
4．过点引圆的切线，则切线的方程为 （ ）
A．或 B．
C．或 D．
5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 （ ）
A．5 B． C．45 D．
6．如图，已知正四面体ABCD中，，，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于 （ ）
B．
C． D．
7．阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，点，动点P到点的距离之比为，当不共线时，面积的最大值 （ ）
A． B． C． D．
8．若圆M：上至少有3个点到直线l：的距离为，则k的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．若表示圆的一般方程，则实数的值可以（ ）
A．2 B． C．1 D．
10．已知向量，则 （ ）
A．向量的夹角为 B．
C． D．
11．点在圆上，点在圆上，则 （ ）
A．的最小值为3
B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是 （ ）
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．直线：与直线：的距离为 ．
14．已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，则直线的方程为 ．
15．已知四面体，空间的一点满足，若共面，则 .
16．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）
已知直线，.
已知，求的值；
已知，求的值.
18.（本小题12分）
已知圆C经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）直线l经过，并且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.
19.（本小题12分）
如图，在正方体中，为的中点.
求证：平面.
求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题12分）
已知圆，直线.
求证：直线l与圆C恒有两个交点；
若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.
21.（本小题12分）
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
若为棱的中点，求证：平面；
在棱上是否存在点，使得平面与平面所夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
22.（本小题12分）
已知定点，，动点P满足.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线，，的斜率分别为，，.当时，求k的取值范围.
答案
一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（ ）
A．，2 B．，4 C．，2 D．，4
【答案】C【详解】因为圆的标准方程的圆心为，半径为，
所以圆的圆心和半径分别为，2.
2．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】联立，解得，.设与直线垂直的直线方程是
将，代入方程，解得故所求方程为
3．如图，在三棱锥O ABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且，若记，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】因为
.
4．过点引圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【详解】若切线与轴垂直，则切线方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，由题意可得，解得，此时，所求切线的方程为.综上所述，所求切线方程为或.
5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．
A．5 B． C．45 D．
【答案】B
【详解】因为点关于直线的对称点为，所以即为“将军饮马”的最短总路程，
则“将军饮马”的最短总路程为．
6．如图，已知正四面体ABCD中，，，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在正四面中，设向量，， ，则三个向量两两夹角为，
设正四面体的棱长等于1，且，，，∵，，
∴ ，
，
，，
∵，
∴，即直线和所成角的余弦值为，
7．阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，点、，动点P到点的距离之比为，当不共线时，面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
由，，设，则，
整理得，即轨迹为以为圆心，半径为的圆，当点P到轴距离最大时，的面积最大，
所以面积的最大值是，
8．若圆M：上至少有3个点到直线l：的距离为，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】圆M：的圆心，半径
显然一条直线过圆M的某条半径的中点并垂直于该半径时，圆M上恰有3点到该直线距离为圆M半径的一半，即，因此圆M上至少有3个点到直线l：的距离为，等价于圆心M到直线l的距离，
则有，解得或，所以k的取值范围是.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．若表示圆的一般方程，则实数的值可以是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】BD
【详解】解：将配方得.要想表示圆，则，解得.
10．已知向量，则（ ）
A．向量的夹角为 B．
C． D．
【答案】CD
【详解】对于A，，，，
设向量的夹角为，则，因为，则，故A不正确.
对于B，，，则，故B不正确.
对于C，，，，故C正确.
对于D，，，，故D正确.
11．点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】ABC
【详解】圆的圆心坐标，半径
圆 ，即的圆心坐标，半径
∴圆心距又在圆上，在圆上
则的最小值为，最大值为．故A、B正确；
两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；
圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.
12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
【答案】ABD
【详解】依题意可知两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，，设，，
所以，所以，A选项正确.
点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确.
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
要使平面，平面，
则，
解得，所以存在点，使平面，B选项正确.
若直线与直线所成角为，
则，
，无解，所以C选项错误.
故选：ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．直线：与直线：的距离为 ．
【答案】【详解】直线方程可变为： 与之间距离
14．已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，则直线的方程为 ．
【答案】或
【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，
设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，则直线的方程为，
又因为直线过点，所以，解得：，所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或，故答案为：或．
15．已知四面体，空间的一点满足，若共面，则 .
【答案】
【详解】方法一：由共面，故存在实数使得 ,
故,化简得,
又，所以，解得，
方法二：因为共面，所以，解得.故答案为:.
16．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由可得，
则直线与曲线有两个公共点，如下图所示：
由可得，即，所以，曲线表示圆的上半圆，
直线是过点且斜率为的直线，当直线与圆相切时，则，解得，
当直线过原点时，，
由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点.
因此，实数的取值范围是
四、解答题
17．（本小题10分，其中第一问5分，第二问5分）
已知直线，.
(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）因为，则有，解得，所以的值为.————————————5分
（2）当或重合时，，或，
当时，，此时两直线平行，满足条件，
当时，，，即，此时两直线重合，
不符合题意，综上，.———————————————————————————————————10分
18．（本小题12分，其中第一问6分，第二问6分）
已知圆C经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）直线l经过，并且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【详解】解：（1）设圆C的方程为依题意得————————3分
解之得∴圆C的方程为———————————————————6分
（2）圆可化为，所以圆心到直线的距离为——8分
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l被圆C截得的弦长为，符合题意
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为，即——————————————10分
由题意得解得∴直线的方程为
综上所述，直线l的方程为或—————————————————————————12分
19．（本小题12分，其中第一问6分，第二问6分）
如图，在正方体中，为的中点.
(1)求证：平面.(2)求直线与平面.所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，所以. ——————————————————3分
又因为平面，平面，平面.————————————6分
（2）以点为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立
如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，，，，——————8分
则，设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以.—————————————————————————10分
设直线与平面所成的角为，
.——————————————————————12分
20．（本小题12分，其中第一问4分，第二问8分）
已知圆，直线.
(1)求证：直线l与圆C恒有两个交点；
(2)若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.
【答案】(1)证明见解析(2)面积最大值为，或.
【详解】（1）因为直线可变形为，
所以，解得，故直线经过的定点为.——————————————————2分
将点代入圆的方程有，所以点在圆C的内部，
所以直线l与圆C恒有两交点.———————————————————————————————4分
（2）由（1）知，因为，
所以当时，面积最大，——————————————————————————6分
此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径.
此时点C到直线l的距离，，
所以可以取到，————————————————————————————————8分
所以，解得或.———————————————————10分
故所求直线l的方程为或.——————————————————————12分
（本小题12分，其中第一问4分，第二问8分）
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.
【详解】（1）
取中点，连接，分别为的中点，，
底面四边形是矩形，为棱的中点，，．，，
故四边形是平行四边形，．—————————————————————————2分
又平面，平面，平面．———————————————————4分
（2）假设在棱上存在点满足题意，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，则是四棱锥的高．———————————————————————6分
设，则，，
，所以———————————————————8分
以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，，．
设，
．
设平面PMB的一个法向量为，
则
取．——————————————————————————————————10分
易知平面的一个法向量为，，
，
故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.—————————————————————12分
22．（本小题12分，其中第一问4分，第二问8分）
已知定点，，动点P满足.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线，，的斜率分别为，，.当时，求k的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设动点P的坐标为，
因为，，且，
所以，————————————————————————————2分
整理得，
所以动点P的轨迹C的方程为；——————————————————————————4分
（2）设点，，直线的方程为，
由消去y，整理得，（）
由得，①——————————————————————6分
由（）知，，②
所以，
即，③
将②代入③，整理得，④—————————————————————————————8分
由④得，解得，⑤
由①和④，解得或，⑥———————————————————————————10分
要使，，有意义，则，，
所以0不是方程（）的根，
所以，即，⑦
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