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第4章 因式分解 章末重难点检测卷
本试卷满分100分，考试时间120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
（2022秋·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期末）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023春·浙江金华·九年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）
2．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·四川泸州·八年级统考期末）
3．若，则的值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
（2022秋·河南周口·八年级统考期末）
4．一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱数学 B．我爱数学 C．爱祖国 D．我爱祖国
（2023春·江苏·七年级专题练习）
5．多项式分解因式为，其中，，为整数，则的取值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（2023春·江苏·七年级专题练习）
6．若二次三项式，则当，，时，，的符号为（ ）
A．， B．，
C．， D．，同号
（2023春·七年级课时练习）
7．如图，长与宽分别为、的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（ ）
A．2560 B．490 C．70 D．49
（2023春·七年级课时练习）
8．已知，，，那么，代数式的值是（ ）
A． B．2022 C． D．3
（2023秋·重庆丰都·八年级统考期末）
9．有n个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为；将第二项与相加作为第三项；将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：
①；②当时，第三项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则；④第2022项为；⑤当时，；以上结论正确的是（ ）
A．①②④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．①③⑤
（2023·全国·九年级专题练习）
10．已知当和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于（ ）
A． B． C．3 D．11
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）
11．分解因式：x2－9＝ ．
（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）
12．若，则的值为 ．
（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）
13．将分解因式的结果为 ．
（2023春·七年级课时练习）
14． ，，则 ．
（2023春·七年级课时练习）
15．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将分解因式的结果是 ．
（2021春·浙江温州·七年级校考期中）
16．如图，边长为4的正方形ABCD中放置两个长宽分别为a，b的长方形AEFG与长方形CHIJ，如图阴影部分的面积之和记为，长方形AEFG的面积记为，若，，则长方形AEFG的周长为 ．
三、解答题（本大题共7小题,共66分）
（2023秋·重庆丰都·八年级统考期末）
17．因式分解：
(1)
(2)
（2023春·七年级课时练习）
18．（1）若实数a、b满足，求a、b的值；
（2）根据（1）的解题思路解决问题：若实数x、y满足，求x、y的值．
（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）
19．下面是乐乐同学把多项式分解因式的具体步骤：
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
(1)事实上，乐乐的解法是错误的，造成错误的原因是________．
(2)请给出这个问题的正确解法．
（2023春·江苏·七年级专题练习）
20．阅读与思考：利用多项式的乘法法则可推导得出：
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可得：利用这个式子可以将某些二次项系数为的二次三项式分解因式，例如：将式子分解因式．分析：这个式子的常数项，一次项系数这是一个型的式子，∴，∴
(1)填空：式子的常数项_______，一次项系数___________，分解因式______．
(2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值是______．
（2023春·七年级单元测试）
21．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3
(1)根据图2完成因式分解：________；
(2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长；
(3)图1中的两个正方形的面积之和为，两个长方形的面积之和为，与有何大小关系？请说明理由．
（2023春·七年级课时练习）
22．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：．
原式
②若，利用配方法求M的最小值：
∵，，
∴当时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______．
(2)若，求M的最小值．
(3)已知，求的值．
（2023春·江苏·七年级专题练习）
23．发现与探索：
（1）根据小明的解答将下列各式因式分解
小明的解答：
①
②
③
（2）根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式无论取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．
①说明：代数式的最小值为．
②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．
（2023春·浙江·七年级专题练习）
24．
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据因式分解的定义解答即可．
【详解】A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左至右的变形属于整式乘法且计算错误，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．
2．D
【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可．
【详解】解：A、符号相同，不能用平方差公式进行分解，故此选项不符合题意；
B、第一项不能写成平方的形式，不能用平方差公式进行分解，故此选项不符合题意；
C、不是二项式，不能用平方差公式进行分解，故此选项不符合题意；
D、能用平方差公式进行分解，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点．
3．D
【分析】把变形为，代入后，再变形为即可求得最后结果．
【详解】解：∵，
∴
．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键在于将所求代数式部分因式分解．
4．D
【分析】先题干提取公因式和平方差公式因式分解，再根据结果求解．
【详解】解：
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱祖国，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，分解要彻底是解题的关键．
5．D
【分析】把12分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和．
【详解】解：时，；
时，；
时，；
时，；
时，；
时，；
∴的取值有个．
故选：D．
【点睛】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出m、n之积为12，m、n之和为a是解题的关键．
6．D
【分析】首先整式的乘法展开为，然后根据求解即可．
【详解】∵
，
，
∵，，，
∴，，，
∴，同号．
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解和整式乘法的关系．
7．B
【分析】利用面积公式得到，由周长公式得到，所以将原式因式分解得出．将其代入求值即可．
【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴，，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算、整体代入求值是解题的关键．
8．D
【分析】先求解，，，再把原式化为，再代入求值即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴
；
故选D．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．
9．D
【分析】根据题意求出，，，，，……，由此可得，可判断①⑤；再求出第一项，第二项，第三项，第四项，……，由此可得第n项是，可判断②③④．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
，
，故①正确；
……，
∴，
∴
，故⑤正确；
第一项是，
第二项是，
第三项是，
第四项是，
第五项是，
……，
第n项是，
∴第2022项为，故④错误；
∴当时，第三项的值是，故②错误；
∵第5项与第4项之差为15，
∴，
解得：，故③正确；
故选：D
【点睛】本题考查整式规律，根据题目要求，涉及了完全平方公式，通过前面几项找到一般项的规律是解决问题的关键．
10．C
【分析】根据和时，多项式的值相等，得到或，由，得到，推出，即可得解．
【详解】∵和时，多项式的值相等，
∴，
∴，
∴
∴，
即：，
∴或，
∵，
∴，
当时，，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查代数式求值．解题的关键是利用整体思想，求出的值．
11．(x＋3)(x－3)
【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
12．1
【分析】根据因式分解的应用即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，本题的解题关键是，把代入即可得出答案．
13．
【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14．
【分析】先利用因式分解把代数式变形，再整体代入数据求出代数式的值即可．
【详解】解：，
∵，
∴原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握提公因式法分解因式．
15．
【分析】令，代入后因式分解后，再将还原即可得到答案．
【详解】解：令，
则原式，
再将还原，原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
16．
【分析】根据可设a＝3x，b＝2x，由此可表示出相关线段长，进而可表示出S1＝38x2－80x＋48，S2＝ 6x2，再根据即可列出等式化简整理可得（6x－5）2＝0，由此可求得x＝，最后根据长方形的周长公式即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴设a＝3x，b＝2x，
则AG＝EF＝CJ＝HI＝3x，AE＝FG＝CH＝IJ＝2x，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∴BH＝BE＝4－2x，DG＝DJ＝4－3x，IP＝IQ＝3x－(4－2x)＝5x－4，
∴S1＝S正方形BEPH＋S正方形IPFQ＋S正方形DGQJ
＝（4－2x）2＋（5x－4）2＋（4－3x）2
＝16－16x＋4x2＋25x2－40x＋16＋16－24x＋9x2
＝38x2－80x＋48，
S2＝ab＝3x·2x＝6x2，
又∵，
∴3（38x2－80x＋48）＋5×6x2＝44，
∴114x2－240x＋144＋30x2＝44，
∴144x2－240x＋100＝0，
∴36x2－60x＋25＝0，
∴（6x－5）2＝0，
解得：x＝，
∴C长方形AEFG＝2（a＋b）
＝2（3x＋2x）
＝10x
＝10×
＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及用完全平方公式进行因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
17．(1)；
(2)
【分析】（1）首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（2）用十字相乘法分解即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，能根据多项式的特点，灵活选择方法是关键．
18．（1）（2）
【分析】（1）根据非负数的和为0，每一个非负数均为0，进行计算即可；
（2）将等式左边进行因式分解，转化为非负数的和的形式，求值即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查因式分解的应用以及非负性．熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．
19．(1)分解因式不彻底，没有把公因式提尽（意思对即可）
(2)
【分析】（1）观察同学的解法，找出错误原因即可；
（2）写出正确解法即可．
【详解】（1）解：造成错误的原因是：分解因式不彻底，没有把公因式提尽；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
20．(1)，，，，；
(2)或
【分析】（1）利用题中给出的例子即可得出，，即；
（2）根据、、和分别求出对应的值即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：，，
∴，
故答案为：，，，，；
（2）解：当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
综上所示：或；
故答案为：或
【点睛】本题考查的是因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律．
21．(1)
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）根据图形的面积的两种表示方法，得出结果即可；
（2）根据所拼成的大正方形的面积为，得出边长即可；
（3）根据，即可得出．
【详解】（1）解：根据图2完成因式分解：．
故答案为：．
（2）解：由1号卡片1张、2号卡片4张、3号卡片4张拼出的大正方形，如图所示：
则有，
∴这个大正方形的边长为．
（3）解：；理由如下：
根据题意，得，，
则，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式的结构即可求解；
（2）类比例题求M的最小值即可；
（3）先根据完全平方公式因式分解，然后根据非负数之和为0，求得的值，继而即可求解．
【详解】（1）解：∵，
故答案为：．
（2）解：
∵，
∴当时，有最小值为；
（3）解：
，
即，
∴，
解得：，
∴
【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用及偶次方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．
23．（1）①（a-10）（a-2）；②（a-8）（a-2）；③（a-5b）（a-b）；（2）①见解析；②28
【分析】（1）仿照小明的解答过程、利用完全平方公式、平方差公式计算；
（2）仿照小丽的思考过程，利用完全平方公式、平方差公式计算、偶次方的非负性解答．
【详解】解：（1）①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-42
=（a-10）（a-2）；
②（a-1）2-8（a-1）+7
=（a-1）2-8（a-1）+16-16+7
=（a-5）2-32
=（a-8）（a-2）；
③a2-6ab+5b2
=a2-6ab+9b2-9b2+5b2
=（a-3b）2-4b2
=（a-5b）（a-b）；
（2）①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-16，
无论a取何值（a-6）2都大于等于0，再加上-16，
则代数式（a-6）2-16大于等于-16，
则a2-12a+20的最小值为-16；
②无论a取何值-（a+1）2都小于等于0，再加上8，
则代数式-（a+1）2+8小于等于8，
则-（a+1）2+8的最大值为8，
-a2+12a-8．
=-（a2-12a+8）
=-（a2-12a+36-36+8）
=-（a-6）2+36-8
=-（a-6）2+28
无论a取何值-（a-6）2都小于等于0，再加上28，
则代数式-（a-6）2+28小于等于28，
则-a2+12a-8的最大值为28．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．
24．(1)
(2)；
(3)；43或
【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可．
（2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可．
【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以．
故答案为：．
（2）①把二次项系数2写成，，满足，所以．
故答案为：．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，
所以．
故答案为：．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，
所以．
故答案为：．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，
所以m=或m=，
故m的值为43或-78．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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